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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
h) $f(x)=x^{2} e^{-x}$
h) $f(x)=x^{2} e^{-x}$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
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$ \lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} $
Ojo acá, tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente:
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} $
y ahora tenemos una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} $
L'Hopital de nuevo...
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0 $
Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en $y = 0$ para $x$ tendiendo a $+\infty$. Veamos ahora que pasa en $-\infty$.
$ \lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = +\infty $
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = 0$
Saco factor común $x \cdot e^{-x}$
\( x e^{-x} (2 - x) = 0 \)
Tres cosas multiplicándose que nos está dando cero, pero acordate que la exponencial nunca puede valer cero. Así que esta multiplicación puede dar cero si $x =0$ y si $2-x = 0$, o lo que es equivalente, $x=2$.
Por lo tanto, $f$ tiene puntos críticos en $x=0$ y $x=2$
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( (-\infty, 0) \)
b) \( (0, 2) \)
c) \( (2, +\infty) \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
En \( (-\infty, 0) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
En \( (0, 2) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es creciente
En \( (2, +\infty) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow \) Por lo tanto \( f \) es decreciente
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: