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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
h) f(x)=x2e−xf(x)=x^{2} e^{-x}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty

lim⁡x→+∞x2e−x \lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x}  

Ojo acá, tenemos una indeterminación de tipo "cero por infinito". Reescribimos como un cociente:

lim⁡x→+∞x2ex \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}

y ahora tenemos una "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→+∞2xex \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}

L'Hopital de nuevo...

lim⁡x→+∞2ex=0 \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0

Por lo tanto, hay una asíntota horizontal en y=0y = 0 para xx tendiendo a +∞+\infty. Veamos ahora que pasa en −∞-\infty.

lim⁡x→−∞x2e−x=+∞ \lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = +\infty   3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=2xe−x+x2(−e−x) f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x})   4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

2xe−x−x2e−x=02x e^{-x} - x^2 e^{-x} = 0

Saco factor común x⋅e−xx \cdot e^{-x}

xe−x(2−x)=0 x e^{-x} (2 - x) = 0

Tres cosas multiplicándose que nos está dando cero, pero acordate que la exponencial nunca puede valer cero. Así que esta multiplicación puede dar cero si x=0x =0 y si 2−x=02-x = 0, o lo que es equivalente, x=2x=2.

Por lo tanto, ff tiene puntos críticos en x=0x=0 y x=2x=2
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:
a) (−∞,0) (-\infty, 0)
b) (0,2) (0, 2)
c) (2,+∞) (2, +\infty)
  6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos:
En (−∞,0)⇒f′(x)<0→ (-\infty, 0) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente En (0,2)⇒f′(x)>0→ (0, 2) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente En (2,+∞)⇒f′(x)<0→ (2, +\infty) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente 
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra:
2024-04-19%2018:24:29_7864693.png
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